روش المان گسسته DEM (Discrete Element Method) یک مدل عددی با توانایی توضیح رفتار مکانیکی گروه ذرات است. این روش بر اساس استفاده از یک رویه عددی صریح است که اثر متقابل بین ذرات از طریق تماس و حرکت ذرات را ذره به ذره بررسی می‌کند. توانایی مدل DEM این اجازه را به کاربرمی‌دهد تا حرکت ذرات را به صورت جرم نقطه‌ای در حال حرکت در نظر بگیرد که شکل و حجم ذرات را شامل می‌شود.

با استفاده از قانون دوم نیوتون، معادلات دیفرانسیل حاکم بر حرکت ذرات به صورت زیر می‌باشند:

پیاده‌سازی روش DEM بر اساس نیروهایی است که در اثر برخورد ذرات ایجاد می‌شود (روش کرات نرم (soft-sphere approach)). ترم  شامل این نیروها می‌شود. نیروهای ایجاد شده بر اثر برخورد ذرات و بر اساس تغییر شکل ذرات تعریف می‌شود که با اندازه‌گیری همپوشانی بین جفت کره‌ها (شکل۱) یا بین کره و دیواره بدست می‌آید. از معادله ۱ انتگرال‌گیری در طول زمان می‌شود تا بر هم‌کنش ذرات بدست آید.

 :اندازه ثابت فنر نیروی تماسی نرمال برای برخورد یک جفت ذره از معادله زیر به دست می‌آید

در رابطه بالا k ثابت فنر، D قطر پارسل (نماینده مجموعه ذرات)،  چگالی ذره،  سرعت نسبی بین دو ذره‌ برخوردکننده و  نسبت قطر برای همپوشانی مجاز است. زمان برخورد از رابطه  بدست می‌آید که m جرم   پارسلمی‌باشد. در این مقاله سه قانون برخورد بررسی خواهد شد.

·       قانون برخورد فنری (Spring Collision Law)

برای قانون برخورد فنر خطی، بردار واحد  از ذره ۱ به ذره ۲ تعریف می‌شود:

 (۴)                                                                                                                                   
در رابطه ۴  به ترتیب مکان ذرات ۱ و ۲ است. همپوشانی  که در حین برخورد کمتر از صفر است به صورت زیر تعریف می‌شود:

(۵)                                                                                                                                 

که   شعاع‌ ذرات ۱ و ۲ به ترتیب هستند. نیرویی که به ذره ۱ وارد می‌شود از رابطه زیر محاسبه می‌شود:

(۶)                                                                                                                                                            

و طبق قانون سوم نیوتون نیروی وارد شده به ذره ۲ برابر خواهد بود با:

 (۷)                                                                                                                                                           

·       قانون برخورد فنر-دمپری (Spring-Dashpot Collision Law)

برای قانون برخورد فنر-دمپر، یک ضریب فنر همانطور که قبلا اشاره شد، بعلاوه یک ضریب ارتجاعی   برای ترم دمپر تعریف می‌شود 

نیرویی که در این حالت به ذره ۱ وارد می‌شود به صورت زیر تعریف می‌شود:

(۸)                                                                                                                         

در رابطه ۸    سرعت نسبی دو ذره است و  ضریب دمپینگ می‌باشد که از رابطه زیر بدست می‌آید:

(۹)                                                                                                                                             

در رابطه بالا  جرم کاهش یافته     مقیاس زمان برخورد می‌باشد.

نیروی وارد شده به جسم دوم نیز همانند معادله ۷ خواهد بود.

·       قانون برخورد اصطکاکی (Friction Collision Law)

قانون برخورد اصطکاکی بر اساس معادله اصطکاک کولمب می‌باشد که به صورت زیر تعریف می‌شود:

(۱۰)                                                                                                                                   
که ضریب اصطکاک و  اندازه نیروی نرمال در راستای مرکز دو ذره است. جهت نیروی اصطکاکی در خلاف حرکت مماس نسبی است و ممکن است نیروی اصطکاکی به دو دلیل مانع از به حساب آوردن حرکت مماس نسبی بین دو ذره می‌شود: ۱) اندازه مومنتوم مماسی ۲) اندازه سایر نیروهای مماسی (همانند مولفه‌ های مماسی نیروی درگ و گرانشی).

ضریب اصطکاک تابع اندازه سرعت مماس نسبی ذرات است:

(۱۱)

در روابط ۱۱،  ضریب اصطکاک چسبندگی،  ضریب اصطکاک لغزشی،   ضریب اصطکاک حد سرعت بالا،  سرعت لغزشی  حد سرعت ذره می‌باشد که برای سرعت‌های بالا  به  نزدیک می‌شود و در نهایت  پارامتری است که تعیین می‌کند  با چه سرعتی به  نزدیک می‌شود.

در نرم‌افزار DEM ،ANSYS Fluent جزوی از مدل DPM)Discrete Phase Model) می‌باشد. مدل DEM برای شبیه‌سازی مواد دانه دانه مناسب می‌باشد. این نوع شبیه‌سازی با نسبت حجمی بالای ذرات مشخص می‌شود که تعامل ذره به ذره مهم است. ذکر این نکته ضروری است که تعامل جریان سیال با ذره ممکن است حائز اهمیت باشد یا نباشد. کاربردهای معمول مدل DEM شامل هاپرها، رایزرها و بسترهای سیال می‌باشد. از محدودیت‌های این روش در نرم‌افزار ANSYS Fluent می‌توان به عدم امکان استفاده از DynamicMesh، Periodic Boundaries  و شرط مرزی تنش برشی در دیواره اشاره کرد.

منابع

[۱] P. A. Cundall and O. D. L. Strack. “A Discrete Numerical Model for Granular Assemblies”. Geotechnique. ۲۹٫ ۴۷–۶۵٫ ۱۹۷۹٫

[۲]ANSYS FLUENT User’s Guide